			Все репетиционные базы и студии
			Магазины музыкальных инструментов

Вы не зарегистрированы

Регистрация | Поиск | Войти

Теория музыки

Задать новую тему

Размещение серверов в дата центре TIER3

Dedicated server в ЦОД TIER3 - 5 разделов Collocation в ЦОД TIER3 - 5 разделов
Аренда серверов в дата центре TIER3 - 10 разделов Размещение серверов в дата центре TIER3 - 10 разделов

Dedicated server в ЦОД TIER3 - 5 разделов Collocation в ЦОД TIER3 - 5 разделов
Аренда серверов в дата центре TIER3 - 10 разделов Размещение серверов в дата центре TIER3 - 10 разделов

Все страницы:

1 2 3

Посмотреть всю тему

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 25.10.2006 16:11
Novator
Novator

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 25.10.2006 18:32
Сергей	*А вот здесь товарищ излагает "квинтовый алгоритм" и тоже берет фа за начало. Правда, без диеза.* F-C-G-D-A-E-H в некотором смысле то же самое, что C-G-D-A-E-H-F#
Сергей

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 27.10.2006 18:29
cynoptik Спиралеформная Пропасть гитара, секвенсер, ВДП	пока что материалы даются в стиле "музыка и арифметика". Почему-то о психоакустике никто и не помышляет... А ведь известно, что чувствительность уха 0.3% по частоте. Поэтому, к примеру, любой интервал, выраженный отношением 3-хзначных чисел - это нечто за пределами предмета. Видны робкие попытки поднять тему о "ритме"... Но синтетического понимания того, что музыка - это неразрывно спаянный (неким высшим законом:) спектр колебаний от 20 000 Гц до 0.001 Гц - этого нет...
	http://www.realmusic.ru/deathfrost

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 28.10.2006 13:00
Rudi	cynoptik, что же Вы хотите? Для серьёзного обсуждения темы нужны авторы, адекватные в отношении обеих составляющих. А у нас обсуждают либо музыканты, вежливо-любознательные по отношению к математике, либо математики с аналогичным отношением к музыке. Вот, кто мог бы поддержать дискуссию - это покойный Лео Абрамович Мазель, дважды доктор, а именно математики и искусствоведения (такая степень присуждается у вас музыкантам?). И моного таких? Так что в лучшем случае этот топик может быть аккуратнным взаимным просвещением.
Rudi

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 28.10.2006 19:55
Novator	Нашел в сети еще одно подробное изложение античной музыкальной теории. Возможно, кому-нибудь будет интересно. А.Ф.Лосев ИСТОРИЯ АНТИЧНОЙ ЭСТЕТИКИ РАННИЙ ЭЛЛИНИЗМ История античной эстетики, том V М.: "Искусство", 1979 Часть III. МУЗЫКА §1. Обзор источников http://www.philosophy.ru/library/losef/iae5/txt42.htm --------------------------------------------------------------- 3. §2. Необходимые предпосылки для понимания эллинистической музыкальной теории http://www.philosophy.ru/library/losef/iae5/txt43.htm -------------------------------------------------------------- 4. §3. Систематическое введение в гармонику с обзором ее первоначальных категорий http://www.philosophy.ru/library/losef/iae5/txt44.htm -------------------------------------------------------------- 5. §4. Учение о ладах http://www.philosophy.ru/library/losef/iae5/txt45.htm ------------------------------------------------------------- 6. §5. Учение о модуляции и об ее "этосе" http://www.philosophy.ru/library/losef/iae5/txt46.htm ------------------------------------------------------------- 7. §6. Построение мелодии http://www.philosophy.ru/library/losef/iae5/txt47.htm ------------------------------------------------------------- 8. §7. Мелодия и ритм http://www.philosophy.ru/library/losef/iae5/txt48.htm ------------------------------------------------------------ 9. §8. "Этос" отдельных ритмических форм http://www.philosophy.ru/library/losef/iae5/txt49.htm ------------------------------------------------------------ 10. §9. Общее заключение о музыкальной теории древних http://www.philosophy.ru/library/losef/iae5/txt50.htm
Novator

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 28.10.2006 22:54
Rudi	Novator, спасибо, очень интересно. Лосев - знаменитый ваш философ. То, что книга целиком выложена - это удивительно. У нас (в Германии) такое невозможно, обязательно будут нарушены чьи-нибудь права.
Rudi

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 29.10.2006 12:02
Novator	Там не одна его книга выложена. Здесь полный список всех его выложенных книг и статей: http://www.philosophy.ru/library/losef/ Вообще по античной музыкальной теории у него во всех этих книгах много где есть, но все сильно разбросано, искать надо.
Novator

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 29.10.2006 18:52
Виктор	Почитайте,интересно: Гармония в музыке и математике: http://www.amcff.ishim.info/Educatio...Cherkasova.htm
Виктор

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 29.10.2006 18:58
Виктор	Повторюсь,т.к.ссылка вверху капризничает. hoop://www.amcff.ishim.info/EducationMath/Publics/Ref_Cherkasova.htm
Виктор

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 30.10.2006 19:57
Rudi	6FM, вот то, что под рукой: Деменко Б.В. Полиритмика. - Киев, издательство "Музична Украйина", 1988, 120 страниц, ISBN 5-88510-001-2 У нас в библиотеке есть фотокопия этой книги. Прилагаю оглавление.
Rudi

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 31.10.2006 12:22
6FM	Спасибо
6FM

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 08.11.2006 11:24
Rudi	Топик несколько увял. А я узнал любопытную вещь, читая мемуары Л.Л.Сабанеева "Воспоминания о России", изданные в Москве два года назад. Сабанеев имел три высших образования, он закончил Московскую консерваторию как пианист и композитор и Московский университет как математик. В книге мемуаров приведена популярная статья о золотом сечении, в которой Сабанеев ссылается на свою более раннюю научную статью на эту тему, а именно: "Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы", опубликованную в ныне малодоступном журнале "Искусство", 1925, № 2 С. 132 –145; 1927, № 2-3, С. 32 – 56. Судя по популярной статье, которую я прочитал, научная статья должна быть чрезвычайно интересной. В связи с этим я обращаюсь к москвичам. Эта статья, конечно, есть в Российской государственной библиотеке, а, возможно, и в других. Мог бы кто-нибудь скопировать статью и выложить её хотя бы в графическом виде(не распознанную), например, в виде PDF файла? Ссылки на эту статью в интернете имеются (Google нашёл 7), например, http://www.goldenmuseum.com/0803Shopin_rus.html, в которой содержится краткий реферат статьи Сабанеева.
Rudi

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 08.11.2006 11:40
Rudi	Нашёл в интернете ещё одну ссылку на более доступный источник: Розенов Э. К. Закон золотого сечения в поэзии и в музыке // Статьи о музыке. Избранное. — Москва: издательство "Музыка", 1982, С. 119—157.
Rudi

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 08.11.2006 13:20
Novator	Некоторое время назад я нашел в сети настоящих фанатов золотого сечения (во всяком случае – в русскоязычном секторе интернета) : http://www.trinitas.ru/rus/002/a0232001.htm Материалов по золотому сечению там собрано огромное количество. Вполне возможно, что там имеются и материалы по использованию этой конструкции в музыке и поэзии.
Novator

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 09.11.2006 00:51
seamur	Хочу услышать мнение музыкантов относительно 53-х ступенной музыкальной системы, описанной на www.octava.org/53.htm. Если верить сказанному, то 1. 53-х ступенная система сочетает в себе достоинства других строев, 2.в отличие от темперированного 12-ти ступенного содержит чистые квинты и кварты,3.включает на порядок больше возможных гармонических конструкций. Деловое предложение к выпускникам композиторского отделения: попробовать переложить в 53-х ступенном строе что-нибудь известное из ХТК И.-С.Баха(спонсоров найдём!)!!
seamur

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 09.11.2006 15:41
Novator	А вот еще по поводу золотого сечения я стал вспоминать и вспомнил вот что. Вспомнил про В. А. Лефевра, который в свое время написал книгу под интригующим названием “Алгебра совести”. Он предложил там очень простую модель функционирования человеческой психики из которой, по его словам, строго дедуктивно вытекало и золотое сечение и специфический набор музыкальных интервалов, принятых в западно-европейской музыкальной традиции. Первоначальные сведения об этой модели можно почерпнуть на моем сайте http://px-pict.com/7/3/3.html http://px-pict.com/7/3/3/2.html (но это только самые первоначальные сведения!) Теперь его книга, кажется издана и на русском. Попробуйте набрать в Яндексе В. А. Лефевр Алгебра совести О его модели была статья также в журнале: Интервью с В. А. Лефевром: "Непостижимая" эффективность математики в исследованиях человеческой рефлексии. "Вопросы философии", N7,1990. А с золотым сечением можно еще побаловаться в созданной мною игрушке http://px-pict.com/7/3/3/4.html (но прочитайте сначала правила игры)
Novator

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 09.11.2006 21:55
Rudi	seamur, я познакомился с указанным Вами сайтом. Авторы довольно непросто объясняют суть 53-ступенной темперации и делают в итоге не вполне верные выводы. Прошу прощения у всех, кто не интересуется данной темой или кто, напротив, свободно в ней ориентируется. Кроме того, я не знаю, допускаются ли на форуме такие длинные посты. Начав писать ответ, я увлёкся и проделал некоторые вычисления, которые привели меня к выводам, отчасти для меня самого неожиданным. В 53-ступенной темперации нет чистых квинт (и соответственно кварт), как их нет ни в одной равномерной темперации, но в 53-ступенной темперации квинты действительно ближе к чистым, чем в 12-ступенной темперации. Приведённая на сайте, ссылку на который Вы здесь поместили, таблица даёт округлённые значения интервалов в центах (до целых чисел). При таком подходе «чистую» квинту можно обнаружить и в других темперациях. Рассуждение о том, что число 53 – это восьмёрка (т.е. октава), оставим на совести авторов. Можно складывать вместе яблоки и гвозди, но не следует говорить при этом, что получаем в итоге совокупное количество фруктов. Здесь я попробую изложить суть дела попроще, если мне удастся. Поскольку формулы в текстовом формате не пишутся, я буду излагать их описательно. Измерять интервалы и сравнивать их между собой можно двумя способами: в центах (1 цент = 1/1200 части октавы – это логарифмическая шкала) и в соотношениях частот между верхним и нижним звуком интервала. Так в октаве это отношение равно 2. Почему я предпочитаю отношение верхнего к нижнему, а не наоборот? Потому что тогда проще складывать интервалы между собой, перемножая эти отношения частот. Так, минимальный интервал любой темперации равен корню n-ой степени из 2 (т.е. в нашем случае из октавы), где n – то число, на которое решено равномерно поделить октаву. На сегодняшний день распространена достаточно убедительная гипотеза о том, что все лады произошли из коллективного вокального действа, в котором были найдены сливающиеся в один (для слуха) интервалы октавы и квинты. Квинта гарантировала одновременно изменчивость (получение нового звука) и стабильность (точное интонирование этого нового звука). Поэтому каждый старинный лад может быть вытянут в непрерывную пяти- либо семизвуковую квинтовую цепь. Пифагор предложил таким образом настраивать музыкальные интсрументы, и такая настройка называется пифагоровой. Но обнаружилось, что эта цепь не замкнута в кольцо (т.е. невозможно, двигаясь квинтами вверх и квартами вниз, что то же самое, вернуться в исходную точку). Тринадцатый тон отличается от исходного на небольшой интервал, который называется «пифагорова комма». Этот интервал равен примерно 24 центам или отношению верхнего к нижнему примерно как 1,0136. Возможные типы темперации, производные от «пифагорова строя с чистыми квинтами» и генетически связанные с тонально-ладовой системой, появляются либо за счёт уничтожения пифагоровой коммы (равномерного распределения её между 12 квинтами, при этом возникает равномерно-темперированный строй с 12 полутонами, а именно 7 малыми секундами и энгармонически равными им 5 увеличенными примами), либо, напротив, за счёт эмансипации пифагоровой коммы (в этом случае увеличенная прима шире малой секунды на величину коммы). Во втором случае в октаве размещаются 5 комм, представляющих собой минимальный интервал данного строя, а малые секунды делятся на произвольное количество частей – на 2, 3, 4 и т.д. При этом возникают темперации из 17, 29, 41, 53, 65, 77 и т.д. ступеней (по формуле 5+12n, где 5 – число пифагоровых комм, образующихся в случае фортепианной клавиатуры в районе на чёрных клавиш, 12 – число малых секунд, n – число, на которое может быть разбита каждая малая секунда). Таким образом, если стремиться непременно к получению чистых интервалов, то приближаться к ним можно, увеличивая число темперированных ступеней, но не бесконечно. Вычисление величины квинты (в центах) в различных темперациях производится по формуле 1200 : m и умноженное на (7n+3), где m – число темперированных ступеней в октаве, 7 – число малых секунд в квинте, n – число, на которое может быть разбита каждая малая секунда, 3 - число пифагоровых комм в квинте. Так, например, пифагорова, т.е. чистая квинта равна 702 цента, квинта в 17-ступенной темперации = 705,882 цента, в 29-ступенной = 703,448 цента, в 41-ступенной = 702,439 цента, в 53-ступенной = 701,886 цента, в 65-ступенной = 701,538 цента, в 77-ступенной = 701,299 и т.д. Таким образом, мы видим, что постепенное увеличение числа ступеней приближало темперированную квинту к чистой, а затем стало от неё удалять. Наилучший результат пришёлся как раз на 53-ступенную темперацию. Это должно было быть сразу очевидным. Преимущество 53-ступенной темперации в том, что 1/53 часть октавы близка к пифагоровой комме (пифагорова комма – 24 цента, т.е. 1/50 часть октавы). У нас в школе есть компьютерная программа Петра Трубинова, автора "Русской книги о Финале", позволяющая перестраивать синтезатор на 29-ступенную темперацию, и, в принципе, вообще на любое число ступеней. Кроме того, участник данного форума Сергей давал ссылку на сайт, где тоже предложена похожая программа. Какими окажутся важнейшие консонирующие интервалы? Чтобы узнать степень их «чистоты», достаточно вычислить (на этот раз не в центах, а в отношении верхнего звука к нижнему), величину большой терции в 53-ступенной темперации и сравнить с «чистой» терцией натурального строя (перенесённый на две октавы вниз четвёртый обертон), частота которой 5/4, т.е. 1,25. Соотношением частот двух соседних звуков в 53-ступенной темперации будет корень 53-ей степени из двух, т.е. примерно 1,013164. Соотношение частот в большой терции будет этим корнем, возведённым в степень, представляющую собой количество микроинтервалов внутри большой терции, т.е. в нашем случае в 18 степень. Получим примерно 1,2654. Проверим другие темперации. 65-ступенная даёт большую терцию 1,2644. 77-ступенная: 1,2637. 89-ступенная: 1,2632. Мы видим, что, хотя в темперациях после 53 квинта становилась «грязнее», большая терция становится чище. Не приводя всех вычислений (которые я проделал), могу сообщить, что оптимальной оказалась 314-ступенная темпераци с терцией 1,2525. Но квинта в такой темперации будет 1,4813 (при чистой квинте 3/2, т.е. 1,5). Тогда как квинта в 53-ступенной темперации будет 1,4999. Отсюда можно сделать вывод, что идеальной темперации нет. В 53-ступенной темперации можно, впрочем, получить большую терцию с лучшим приближением, но тогда придётся воспользоваться дополнительными «микро-бемолями», так, вместо клавиши ми для получения чистой терции до-ми придётся использовать дополнительную клавишу, что-то вроде ми микро-бемоля (1,24898). Белая клавиша ми в толнальной музыке останется неиспользованной. И так далее. Если идеальная темперация невозможна, то возможна оптимальная, которая находится между 53 и 314-ступенными (последняя, кстати, даёт микроинтервал, находящийся на пределе способности человеческого слуха к различению относительной высоты звука). Однако при любой темперации кого-то будут раздражать грязноватые квинты с квартами, кого-то – терции с секстами. Так что и оптимальная темперация – дело вкуса. Для сравнения, та, которой пользовался Бах, т.е. наша 12-ступенная, даёт следующие значения: для квинты 1,4983 (при чистой 1,5) и большой терции 1,2599 (при чистой 1,25). Теперь по поводу переложения Баха в 53-ступенной темперации. 53-ступенная темперация наиболее близка пифагорову строю. Это значит, что и все остальные интервалы близки пифагоровым (например, малая секунда в пифагоровом строе 90 центов, а в 53-ступенном – 90,566). Этот строй делает фальшивыми с точки зрения чистого строя все привычные консонансы, кроме квинты и кварты. В 12-ступенной темперации консонансы (кроме квинты и кварты) чище пифагоровых, а, следовательно, и 53-ступенных. Пифагоров строй – не просто искусственное образование, придуманное Пифагором (как считалось ещё 50 лет назад). Он – следствие естественной эволюции модальных ладов, не знающих в принципе гармонии в нашем понимании (трезвучий и т.п.). В процессе зарождения гармонии, которое имело место исключительно в западно-европейской музыке с 14 по 17 века, одноголосные модальные лады вступили в конфликт с требованиями гармонического благозвучия. Первые органы настраивались спервоначалу в единственно известном тогда пифагоровом строе, и эта настройка была неудовлетворительной. 12-ступенная темперация разрешила этот конфликт. 53-ступенная его в принципе разрешить не может, либо придётся специально изыскивать в этой темперации интервалы с микро-бемолями и микро-диезами, чтобы подобрать гармонически чистое звучание. Справедливости ради отмечу, что Баха как полифониста гармоническое благозвучие заботило во вторую очередь. Он по воспоминаниям современников якобы был недоволен темперированной большой терцией, она казалась ему низковатой (хотя она даже выше чистой!). Смысл в этом есть, если учесть, что и темперированная, и, тем более, чистая большая терция занижают вводный тон, главный двигатель выразительного мелодического интонирования. Тем не менее, если вы хотите услышать Баха в пифагоровом строе (а 53-ступенная темперация – это почти пифагоров строй), нет необходимости специально создавать инструмент или компьютерную программу. Любой струнный оркестр играет в строе, близком к пифагорову. В книге Н. Гарбузова «Внутризонный интонационный слух», М.-Л. 1951 приводятся результаты экспериментов с интонированием у разных музыкантов. При помощи стробоскопа измерялись отклонения в интонировании интервалов от равномерной темперации. Цитирую с. 12: «...у высококвалифицированных скрипачей имеется сознательная тенденция суживать м. секунду и м. терцию, расширять б. секунду и б. терцию». Поскольку в хорошем струнном оркестре все стремятся отклониться от темперации в естественном направлении, т.е. в сторону пифагорова строя, совокупное звучание естественным образом приближается к таковому. Фальшивая гармония при этом как правило незаметна в силу, во-первых, того, что ни одна нота не играется совершенным унисоном (это невозможно), а, во-вторых, в силу того, что музыканты слышат целое и отчасти «подчищают» интонацию в каких-то очевидных случаях (медленный темп, тянущиеся гармонии). Тот же эффект достигается в очень хороших симфонических оркестрах (но реже) и в хорах. Так что хорошее исполнение Баховских инструментальных концертов (например, для скрипки или чембало) позволяет услышать (в случае чембало только в оркестровых эпизодах) тот строй, для воспроизведения которого Вы готовы найти спонсоров. О происхождении пифагорова строя и 12-ступенной темперации можно прочесть в превосходной книжке уже упоминавшегося Н. Гарбузова «Музыкальная акустика». В нашей библиотеке есть издание 1954 года, но книга эта наверняка переиздавалась. Различные виды темпераций (в том числе и 53-ступенная) проанализированы в книге: А.Оголевец «Основы гармонического языка», Ленинград 1941. Она не переиздавалась. Мои познания почерпнуты в основном из статьи В.Б.Брайнина «Письмо учёному соседу» на сайте http://brainin.org/Method/method_pro_ru/texts_ru1.html.
Rudi

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 10.11.2006 21:19
Novator	А скажите, пожалуйста, Rudi, так азываемые “гаммы Архита” – это тоже разновидность пифагорова строя? Я прочитал о них в статье Б. Л. ван дер Варден. Пифагорейское учение о гармонии. В книге: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Гос. издательство физико-математической литературы, М.:, 1959. Фрагмент из этой статьи, посвященный гаммам Архита, выложен здесь: http://px-pict.com/7/3/2/1/4/6.html Характерной особенностью этих гамм является то, что при их построении используются такие математические конструкции как “арифметическое среднее” и “гармоническое среднее”. Если верить другому фрагменту из этой же статьи: http://px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html использование этих средних при построении различных гамм было в античной теории музыки вообще очень распространенным явлением. А почему? Что Вы думаете по этому поводу?
Novator

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 14.11.2006 21:05
Novator	Интересная статья в сети по истории теории музыки: "ИЗ ПРОШЛОГО МУЗЫКАЛЬНО-АКУСТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ" http://harmony.musigi-dunya.az/harmony/rus/reader.asp?txtid=122&s=1 Автор: Юрий РАГС* Город : Moscow Страна : Russia Юрий Николаевич Рагс — доктор искусствоведения, профессор кафедры теории музыки Московской государственной консерватории им. ###.Чайковского, зав. секцией музыкальной информатики на этой кафедре.
Novator

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 15.11.2006 09:45
Rudi	Novator, о математических строях я не отвечаю, потому что это большой ответ, у меня сейчас цайтнот. Ссылка на Рагса очень интересная, спасибо. Рагса я знаю по рассказам моего шефа, он был с ним знаком в прошлой, ещё советской жизни. При Академии Наук СССР в Москве был музыкально-математический клуб, и Рагс им руководил, а шеф, тогда молодой человек, посещал. Может быть, этот клуб до сих пор есть. Напишите Рагсу в консерваторию.
Rudi

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 15.11.2006 11:18
Novator	Попробую
Novator

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 16.11.2006 23:50
seamur	Спасибо, Руди. Очень информативный ответ. А всё-таки вы зря скептически отнеслись к тому, что "53 - это октава"! Как вы совершенно правилно сказали, в пифагоровом строе на 12-й квинте образуется комма. Следующая комма получается на 53-й квинте (в 7 раз меньше первой), ещё следующая - на 359-й квинте, и далее - на 665-й квинте(!)Эта последняя комма составляет уже примерно одну шестнадцатитысячную часть октавы. И все нумерологические суммы этих периодов составляют восемь: 5+3=8, 3+5+9=8, и 6+6+5=1+2+5=8. Конечно, это не музыка, а только арифметика, но всё равно красиво!
seamur

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 26.11.2006 17:56
Novator	Нашел интересную статью о пифагорейской теории музыки and related topics. Philosophy and Science of Music in Ancient Greece: The Predecessors of Pythagoras and their Contribution http://psb.sbras.ru/EMIS/journals/NNJ/Pont-v6n1.html На английском языке. В частности, о связи музыки с математикой. Впервые увидел монохорд. Некоторые разделы статьи: THE HARMONY OF THE SPHERES MONOCHORD MATHEMATICS TEMPLE HARMONIES ARCHAEOLOGY AND ANTHROPOLOGY OF HARMONICS
Novator

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 26.11.2006 23:22
seamur	Хочу, друзья, порадовать вас замечательной цитатой из великого русского философа и математика Готфрида-Вильгельма-Фридриха Лейбница: "Musica est exersicium arithmeticae occultum nescientis se cogitare animi" ("Музыка есть тайное арифметическое упражнение души, тщетно пытающейся исчислить самое себя").
seamur

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 27.11.2006 01:50
Rudi	Почему Leibnitz русский? Он жил в моём городе (Hannover), даже часть дома сохранилась. Я знаю, что Leonhard Euler из Швейцарии работал в России, а про Leibnitz не знал. Это действительно так?
Rudi

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 29.11.2006 00:16
seamur	Милейший Готфрид-Вильгельм долго жил в Петербурге, обласканный Екатериной, и был членом Российской академии наук. К Novator’у. У Вас собрано большое количество интересной информации на сайте, но у меня есть замечания. По пифагорейскому учению и музыкальной теории за столетия накопилось столько разноречивых сведений, что недостаточно цитировать источники, хотя бы кажущиеся авторитетными, а надо исследовать всё самому. Вот примеры. В разделе 1. Вы приводите пропорцию Пифагора, называемую «Золотой» (A : H = M : B, где H и M суть гармоническая и арифметическая средние между величинами A и B), и говорите: «Примем ли мы то или другое определение, мы легко докажем справедливость "золотой пропорции"». Но в современном ли смысле применимо к ней определение «золотая»? Можно сказать, что данное условие есть необходимое, но не достаточное для золотой пропорции. В самом деле, если мы подставим сюда 1/, 1,  и 2, то получим равенство, но существует множество и других выражений вида A : H = M : B, где H и M суть гармоническая и арифметическая средние, которые не являются «золотыми» (к примеру, 3/2 : 12/7 : 7/4 : 2). В разделе 7.3.2.1.4.6. вы приводите другую выдержку о пропорциях A : H = M : B и A : M = H : B, которые «Ямвлих и Никомах называют "совершеннейшими”». Тем не менее это тавтология: из A : H = M : B необходимо следует A : M = H : B (!) В разделе 7.3.3.2. там, где предлагается эксперимент на восприятие частотных интервалов, сказано, что интервал 7/5 не применяется в музыке, однако это практически интервал обыкновенного тритона (1.4046, фа диез). Известно, что в школе Пифагора (а позже в «Академии» Платона) математические и гармонические упражнения были подготовительной частью к философии, и не только потому, что тренировали умственные способности «студентов», но они имели целью придать уму «специальную форму» (как мы бы сейчас сказали, «особый формат»), необходимую для философствования. Для этого служила и музыка, построенная на чистых консонансах октавы, квинты и кварты, причём терции и сексты консонансами не считались. Обучение в этих школам по определённым причинам было тайным, а потому и в античности мало кому известным, а толки о нём часто ложными. Последствия этого незнания мы пожинаем по сей день. Даже и такой факт. В современной музыкальной нотации ступени повышающимися квинтами приводят к тональностям диеза (в темперированном строе разница между диезами и бемолями значения не имеет), хотя легко убедиться расчётом, что при повышении квинт мы должны иметь тональности бемоля, а при понижении – диеза! Как сказано Rudi, «На сегодняшний день распространена достаточно убедительная гипотеза о том, что все лады произошли из коллективного вокального действа, в котором были найдены сливающиеся в один (для слуха) интервалы октавы и квинты». Пусть так. Но здесь есть чисто-математический вопрос. Семь ступеней диатоники и двенадцать ступеней хроматической гаммы были известны уже пять тысячелетий назад в древнем Вавилоне и Китае, и пусть кто-нибудь объяснит мне, каким ещё другим математическим способом, кроме последовательного применения квинты, можно было прийти к такому разделению (если кто умеет, то пусть поделится!)? И почему иное число интервалов, даже если оно возможно, всегда будет производным от квинтового деления?
seamur

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 29.11.2006 21:58
Novator	seamur, позвольте мне сначала пояснить, чего я хочу от музыкальной теории. Меня интересуют определенные пифагорейские теории музыки, но не совсем те, которые связаны с квинтовым алгоритмом в том виде, как он изложен здесь: http://www.octava.org/octave.htm А именно, меня интересует теория музыки Архита Тарентского – одного из наиболее выдающихся античных музыкальных теоретиков. Интервалы его тональностей (например, диатонической) являются существенно иными, нежели “классические пифагорейские”. Эти интервалы приведены на странице: http://px-pict.com/7/3/2/1/4/6.html А на страницах http://px-pict.com/7/3/2/1/4/2.html http://px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html можно найти некоторые дополнительные сведения о его теории. Указанные страницы представляют собой выдержки из статьи Б. Л. ван дер Варден. Пифагорейское учение о гармонии. В книге: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Гос. издательство физико-математической литературы, М.:, 1959. Так что Ваши замечания по поводу определений трех средних, “золотой пропорции Пифагора” и т. д. следует адресовать этому автору. Разумеется, я проверял приведенные там формулы, но никаких противоречий не обнаружил. Предлагаю обсудить приведенные Вами возражения в отдельном посте. Конечно, золотая пропорция это не то, что понимается ныне под золотым сечением. Ну, и что с того? По-видимому в древности “золотыми” и “совершеннейшими” назывались многие отличные друг от друга соотношения, которые древним авторам представлялись важными. Теперь я вернусь к собственно теории музыки Архита и постараюсь объяснить, почему именно она представляется мне важной. Дело в том, что в рамках этой теории были развиты определенные конструкции, которые впоследствии получили новую и достаточно неожиданную жизнь в геометрии, а именно, в так называемой “неевклидовой геометрии”. Если Вы откроете Главу 5 книги: Ф. Клейн Невклидова геометрия. ОНТИ, 1936, Которую можно скачать из библиотеки http://www.math.ru/lib/ то обнаружите в ней материал, который можно рассматривать как непосредственное продолжение материала книги “Sectio Canonis”, приписываемой Евклиду: http://px-pict.com/7/3/1/1/4/1.html однако, как было доказано, на самом деле написанную Архитом. В “Sectio Canonis” исследуется деление канона, или монохорда, в частности, при помощи гармонической средней. Построение в указанной главе книги Клейна “гармонической шкалы” на прямой может рассматриваться как непосредственное обобщение манипуляций с монохордом. Т. е. получается, что многие конструкции в геометрии имеют на самом деле “музыкальное” происхождение. Лично для меня представляет интерес исследование таких взаимосвязей между музыкой и геометрией. Шеллинг в своей книге “Философия искусства” сравнил архитектуру с “застывшей музыкой” http://filosof.historic.ru/books/item/f00/s00/z0000446/st006.shtml (см. в самом низу страницы) По-видимому, и многие геометрические конструкции можно так называть.
Novator

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 01.12.2006 15:13
seamur	Ну это так, к слову. Должен же кто-то когда-то выправлять то, что не удосужились другие. Пропорции Архита, конечно, вполне применимы в музыке, но это, по-моему, не что иное как отдельные античные попытки того, что в Италии шестнадцатого века назвали чистым строем. Но попробуйте этими пропорциями выстроить весь звукоряд! Они дают всякий раз отличающиеся интервалы. Тема проективной геометрии привязана, собственно, к форме той пропорции, которую назвали "гармоническиим паттерном". Я этим ещё не занимался, но с вашей наводки попробую. Novator, на первое время я прощаю вам, что вы считаете единицу кирпичиком, поскольку вы пока только учитесь. Но некоторые на своих первых ошибках написали труды и защитили диссертации. Хочу вам заметить, что «единичный квадрат» не есть элементарный кирпичик, поскольку он квадратом не является. В единичности нет различия, а потому нет четырёх сторон. Два это первая противоположность единице, а вместе они сходятся в трёх. Но в трёх есть только единица и двоица, а также двоица и единица, и чтобы сравнить то и другое, возникает четыре. Четыре – первоначальный кирпичик! Это уже ближе к мысли Пифагора. Как-нибудь загляните: Лосев А.Ф. Античный космос и современная наука (Бытие – Имя – Космос. / Сост. и ред. А.А. Тахо-Годи.  М.: Мысль, 1993). Там более пятисот страниц посвящены диалектике тетрактиды (а также и связи её с музыкой). Любые десять страниц на выбор этого трактата стоят целой библиотеки «об учении Пифагора», о котором писали все, кому не лень. Кстати пифагореизм и платонизм Лосев считал частью одной традиции. Немало занимательного вы также можете найти для себя в: Николай Кузанский. Сочинения (тт.1,2). М., «Мысль», 1979.
seamur

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 01.12.2006 18:06
Novator	seamur, что касается теории музыки Архита, то она вовсе не так тривиальна и малозначительна, как кажется. Просто пока что я не имею возможности изложить ее в связном виде. По тем же фрагментарным ссылкам, что я привел выше, о ней, по-видимому, трудно составить адекватное представление. Я приветствую также Ваше намерение заняться вопросом о связи музыкальных и геометрических конструкций. По этой теме у меня собрано много материала и если Вам будет интересно, я готов поделиться им с Вами. Спасибо за информацию о книге Лосева, я думаю она действительно будет для меня интересной. Что касается мысли о том, что пифагореизм и платонизм являются частью одной традиции, то помимо Лосева так считал, например, и Бертран Рассел: http://px-pict.com/7/3/1/1/1/8.html (в самом низу страницы)
Novator

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 04.12.2006 00:14
seamur	Ни малейшей попытки нет с моей стороны умалить Архита! Но сами поразмыслите, Novator, сколько было за 23 века после него сильных математиков, поработавших в теории музыки, и уж они-то не преминули бы развить из Архита стройную систему музыки. Впрочем, связать его с геометрией - тоже круто, и может быть, это вам удастся!
seamur

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 11.12.2006 10:49
Way-Out	>3+5+9=8 вы хоть расписывайте подробнее... а то некоторым не понять как такое может быть))))
Way-Out

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 11.12.2006 12:01
Rudi	Way-Out, там имеется в виду следующее: 3+5+9=17, 1+7=8
Rudi

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 11.12.2006 20:33
Novator	Еще одна популярная статья по античным строям: http://gcon.pstu.ac.ru/pedsovet/programm/-section=2_6-1.htm Оказывается, их изучают даже в ДМШ. В данной статье интересно также то, что сравниваются между собой Пифагоров строй и строй Дидима.
Novator

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 11.12.2006 22:23
Rudi	Novator, статья в http://gcon.pstu.ac.ru/pedsovet/programm/-section=2_6-1.htm содержит сплошные банальности и нелепые рекомендации "учитывать дидимову комму как разницу между большим и малым тоном". Выражение "дидимов строй" в литературе неупотребительно (достаточно набить в поисковик, чтобы убедиться). В истории и теории музыки использовалось выражение "чистый строй". Действительно, двойные ноты скрипач играет в чистом строе, а мелодию как правило в своём собственном (похожем на пифагоров). Играть в пифагоровом строе в принципе невозможно, возможно находиться в зоне около пифагорова строя. В принципе, в статье есть одна тольковая вещь - это призыв играть диезы выше, а бемоли ниже. Но это общеизвестно. В общем, очень непрофессиональная статья. Хотя, если уровень скрипичных учителей таков, что им надо сообщать эти общеизвестные вещи, возможно, что для кого-то из них эта информация может оказаться полезной.
Rudi

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 12.12.2006 13:41
Novator	Хорошо, Rudi. По-видимому, термин “Дидимов строй” не вполне корректен. Давайте использовать его условно, чтобы сравнить с чистым строем. Наверное следует признать, что это близкие, но все же разные вещи. Вот пассаж из работы Рагса: http://harmony.musigi-dunya.az/harmony/rus/reader.asp?s=16683&txtid=122 “С именем Дидима (I в. до н. э. — I в. н. э.) связывается начало становления натуральной системы строя — терцового или чистого строя. Он дает три варианта построения тетрахорда; в них используются интервалы, близкие по своей величине к чистому строю, а также равные 1/4 тона.” Т. е., близкие, но не все те же самые. ------------------------------------------ - Но у меня в этом контексте такой вопрос: вроде бы считается, что греческая музыка была одноголосой (модальной), тогда как терцовые аккорды важны для благозвучного (консонантного) многоголосия, возникшего позже. Тогда почему Дидим (а раньше еще и Архит) вводили в свои системы интервалов чистую большую терцию (если музыка была одноголосой?). Как пишет Варден, терции вообще не считались созвучными интервалами: http://px-pict.com/7/3/2/1/4/2.html “... поэтому созвучными интервалами будут октава, квинта, составленная из октавы и квинты дуодецима, кварта, двойная октава, по Птолемею еще ундецима, по Аристоксену же, кроме того, и другие интервалы, большие двойной октавы, но только не большая и малая терции. Последние, хотя и являются эммелическими, т. е. входят в хорошо звучащие гаммы и мелодии и красиво вместе звучат, но они не сливаются вместе и поэтому называются не симфонными, но диафонными.” ----------------------------------- Короче говоря, какое значение имеет чистая большая терция в модальной музыке? И в заключение, сопутствующий отрывок из работы Рагса: http://harmony.musigi-dunya.az/harmony/rus/reader.asp?s=23862&txtid=122 “Наиболее жизненным оказался основанный на чистых квинтах строй Пифагора, просуществовавший в Европе вот уже около двух с половиной тысячелетий. Оставляя в стороне различные катарcические, космические и иные аспекты эстетики пифагорейцев, отметим, что в этом строе удалось воплотить наиболее типичные отношения между звуками в одноголосии. И в настоящее время многие музыканты считают кварто-квинтовый строй наиболее приемлемым для исполнения мелодии [см., например: Лесман 1964, с. 172, 187, 199 и др.]. Дальнейшее развитие музыкального мышления, становление и развитие многоголосия, расширение круга тональностей — следующий мощный импульс для создания музыкальных строев. Разумеется, усовершенствование интонационных возможностей музыкальных инструментов осталось по-прежнему важным стимулом в процессе развития строя. Начались поиски такого строя, который был бы пригоден не только для исполнения мелодии, но и давал бы также хорошее чистое звучание гармонических интервалов, аккордов, созвучий. Наиболее интенсивно эти поиски проводились в период от XV до XVIII столетия. И здесь не ослабевало внимание к естественным, данным самой природой основаниям для строя. В начале этого периода в теории музыки возникла необходимость введения большой чистой терции из натурального звукоряда с отношением частот 5/4. Испанец Рамос де Пареха (ок. 1440 — после 1491) в Musica practica (1482), очевидно, был первым, кто определил отношения между звуками в мажорном трезвучии как 4:5:6. Он ввел в строй в качестве образующего строй интервала большую чистую терцию из натурального звукоряда с отношением частот 5/4, особенно хорошо звучащей в вертикальных, гармонических сочетаниях и первым предложил темперировать квинты с тем, чтобы ликвидировать дидимову комму (разницу между пифагоровой и чистой терциями). Идея использовать консонантно звучащую терцию вместо пифагоровой была, как уже отмечено, выдвинута Дидимом. Но, ни во времена Дидима, когда монодия была основным складом музыки, ни во времена Рамоса де Пареха, эта идея не нашла поддержки у современников. Большая терция во всех своих интонационных вариантах, даже наиболее консонантно звучащая, еще длительное время не могла быть принята современниками как организующий строй интервал.”
Novator

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 12.12.2006 17:06
Rudi	To Novator. “С именем Дидима (I в. до н. э. — I в. н. э.) связывается начало становления натуральной системы строя — терцового или чистого строя. Он дает три варианта построения тетрахорда; в них используются интервалы, близкие по своей величине к чистому строю, а также равные 1/4 тона.” Дидим использует чистую терцию 4/5. Чистый строй использует также чистую терцию 4/5. Так что цитата некорректна. Интервалы в этих строях не «близкие», но одинаковые. Имеются в виду употребимые сегодня интервалы. Исключением является «дидимов четвертитон», не интересующий ни тех, кто создавал чистый строй, ни нас в контексте классической гармонии, но интересующий Дидима, поскольку этот интервал использовался в греческой «энгармонической музыке», а что это такое, никто сегодня не знает толком. У Рагса есть и другие некорректности при том, что статья в целом содержательная. Например, неясно, когда жил Дидим. Лосев пишет «В III веке до н.э. так называемые каноники, а также Эратосфен из Кирены и Дидим проповедовали традиционную диатонику с тем или иным ее незначительным осложнением. И завершителем многовековой пифагорейской музыкальной гармонии считают Клавдия Птолемея (начало II века н.э.), у которого можно находить и много разного рода сведений из истории тональных делений.» Рагс: «...Дидима (I в. до н. э. — I в. н. э.)» Опять Рагс: «...основываясь на трудах Птолемея — современника Дидима». И опять Рагс: «...Птолемеем (род. ок. 83 — ум. ок. 161 г. н. э.)». Не сходится. Второй вопрос, какое значение имела чистота гармонии в монодических ладах. Дидим был последователем Пифагора, т.е. полагал числовые отношения важнейшими в музыке. Его не столько занимали чисто звучащие консонансы, сколько простые соотношения чисел 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6 (последний интервал, т.е. М.3, был несамостоятельным, получался вычитанием большой терции из квинты, и не участвовал в организации строя напрямую). Например, не менее благозвучные чистые сексты его не интересовали, поскольку не давали таких же простых числовых отношений (Б.6=3/5, М.6=5/8). Также следует иметь в виду, что сами названия интервалов свидетельствуют о количестве составляющих их ступеней. У греков таких названий не было, не количество ступеней было важно, но числовое отношение частей струны или столба воздуха. Гармония в нашем понимании появляется тогда, когда появляется представление о том, что внутри терции, состоящей из трёх ступеней, есть диссонирующая ступень, требующая разрешения в одну из ступеней терции. Так в строгом контрапункте кварта (ступень внутри второй из двух следующих друг за другом терций) является диссонансом (уже не как у греков) и должна разрешаться вниз, т.е. в верхнюю ступень первой из двух терций. Такое полифоническое происхождение гармонии лишь косвенно связано с интервалами греков. Чистый строй отличается от «дидимова строя» тем, что ставит перед собой другие задачи, а именно, не совершенство пропорций, но благозвучие полифонических консонансов. Внешне же те интервалы, которые используются в чистом строе, полностью совпадают с почти всеми интервалами Дидима, но у Дидима есть ещё и дополнительные по отношению к чистому строю интервалы, как я уже говорил выше.
Rudi

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 12.12.2006 17:47
Way-Out	Rudi, я-то это понял... а вот некоторые )))
Way-Out

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 12.12.2006 20:37
Novator	Rudi, т. е. Вы хотите сказать, что большая терция в монодических ладах Дидима, Архита появилась в результате теоретико-числовых спекуляций, а затем в полифонической музыке, основанной на чистом строе, приобрела другое значение. Тогда как Вы поясните место из Гарбузова (Музыкальная акустика. Общая редакция Н.А.Гарбузова. По изданию: ГМИ, Москва, 1954.): http://www.mushar.ru/Muzacust/muzac_3_12.html где он, анализирую возникновение простейших “музыкальных систем” с точки зрения музыкальной акустики, пишет следующее: “в процессе образования музыкальных систем роль б. и м. терций была весьма велика и что в число основных интервалов следует включить б. и м. терции. В каком порядке происходило осознание интервалов первобытным человеком, оказать трудно. Можно, однако, утверждать, что интервалами, освоенными в первую очередь, были секунды, терции и кварта. Квинта была освоена позже.” А также добавляет, что (ближе к низу страницы): “Исследование музыкальных произведений народного творчества убеждает нас в том, что эти произведения вначале были одноголосными. Поэтому бессознательное ощущение «устойчивости» и «неустойчивости» интервалов и звуков предшествовало понятиям консонанс и диссонанс, которые возникли только в момент появления многоголосия.” Я все это к тому, что наверное, все же, появление интервала большой терции в монодических ладах Дидима, Архита было вызвано не только мистикой чисел, но также и какими-то объективными музыкально-акустическими причинами.
Novator

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 12.12.2006 21:14
Rudi	To Novator. Гарбузов имеет в виду монодические лады. Если мы будем действительно рассматривать образцы древнего фольклора, мы почти не увидим там скачков шире кварты. Например, типичные русские «трихордовые попевки» - это пентатонические обороты внутри кварты (кстати, в старинном фольклоре разных народов малая терция встречается гораздо чаще большой, также как малая секунда гораздл реже большой). Но это не говорит о том, что Гарбузов имеет в виду гармоническую терцию. Если же это не так, то, извините, тогда Гарбузов заблуждается. Гармоническая «терция» (т.е. интервал 4/5) была освоена не только греками, но и китайцами, и индусами, у которых имели место те же самые или похожие опыты с похожими выводами (так, например, равномерная 12-тоновая темперация в Китае была открыта более чем за тысячу лет до Веркмейстера), однако гармония ни в Китае, ни в Индии не появилась, поскольку для появления гармонии в музыке должны были иметь место некоторые немузыкальные предпосылки тоже (например, коллективная молитва в христианской Европе, христианское представление о диалоге, влияние на христианство не только иудейской коллективной молитвы, но и греческой диалектики, а отсюда дуальность двухголосия, невозможного в ориентальных культурах в принципе). О происхождении ладов и о роли в их становлении гармонической октавы и квинты я где-то уже на этом форуме подробно писал. Мне непросто писать по-русски, поэтому энтузиазма повторяться у меня нет. Но суть там в том, что в совместном культовом действии мужчин и женшин с хоровыми выкриками были постепенно обнаружены как особенно объединяющие участников экстатические гармонические интервалы октавы и квинты, а дальше имели место тысячи лет поисков по гипотетической модели, предложенной Пифагором.
Rudi

Автор	Тема: Re: Музыка и математика Время: 15.12.2006 11:53
seamur	Не следует, однако, забывать, что за всеми этими рассуждениями о тяготениях и разрешениях,которыми так любят уснащать свои лекции и учебники профессора, стоит вполне определённый акустический факт: а именно, отношения обертонового ряда,состоящего из целых чисел 1:2:3:4:5... Благодаря обертоновому ряду то, что мы слышим, и воспринимается музыкально, вот хотя бы и пение птиц, которые тоже берут секунду, терцию и кварту, ничего не зная о тяготениях! Первые люди также как и птицы пели, наверное, не помышляя о математике и гармонии. И цветы природа разукрасила задолго до появления анилиновых красителей, а исходя из чего? Да из того же простого факта, отчего мы видим в спектре 5 или 7 цветов.
seamur

Все страницы:

1 2 3

К последнему сообщению

ОБРАТНО К СПИСКУ ТЕМ

В этот форум могут писать только зарегистрированные пользователи!

MUSICFORUMS.RU - форум музыкантов.
Крупнейший в России сайт для музыкантов - 300 тысяч посетителей в месяц.
© MusicForums.ru 2001-2020

Реклама на сайте
Написать администрации